Group Structure on Cantor p- ary sets

Abstract

The Cantor set or the Cantor middle thirds set was constructed by Georg Cantor (Nelson, n.d. ). In this thesis, we define the generalization of the Cantor set namely Cantor -ary set , where is an odd prime. Then we give the definitions of spawning -ary set and child -ary sets , where This thesis consists of two parts. The first part, we prove the relation of cardinality of spawning -ary set and child -ary set , that is where . The second part, we define a transformation by swapping a digit with its complement and denote a transformation by cycle the digit in to the left. Then we construct a group which its elements are generated by the transformation and transformation and we prove that where is an identity function and be the period length of elements in spawning -ary sets and commute is isomorphic to the subgroup generated by alone, is a faithful cyclic subgroup of order Moreover, we prove that and เซตคันทอร์ (Cantor set) เป็นเซตที่สร้างโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ Georg Cantor (Nelson, n.d. ) งานวิจัยนี้เราได้สร้างเซตใหม่ที่ชื่อว่า เซตพี-อารี คันทอร์ (Cantor -ary set) โดย เป็นจำนวนเฉพาะคี่ ซึ่งเป็นเซตที่มีความนัยทั่วไปกว่าเซตคันทอร์ และเราได้นิยามเซต Spawning -ary และเซต Child -ary เมื่อ งานวิจัยนี้ประกอบด้วยเนื้อหา ส่วน ส่วนที่ เราได้แสดงการพิสูจน์ความสัมพันธ์ของจำนวนสมาชิกที่อยู่ในเซต Spawning -ary และสมาชิกในเซต Child -ary ดังนี้ เมื่อ งานวิจัยส่วนที่ เรานิยามฟังก์ชัน หมายถึงการสลับเลขโดด กับคอมพลีเมนต์ของมันคือ และนิยามฟังก์ชัน คือการเลื่อนเลขโดด แต่ละตัวใน ไปยังซ้ายมือหนึ่งครั้ง ต่อมาเราสร้างกรุป ที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชันที่ถูกสร้างขึ้นจากฟังก์ชัน และฟังก์ชัน และพิสูจน์ได้ว่า 1) และ เมื่อ เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์และ เป็นความยาวช่วงของสมาชิกที่อยู่ในเซต Spawning -ary 2) และ มีสมบัติการสลับที่ภายใต้ตัวดำเนินการ 3) กรุป ไอโซโมฟิกกับกรุป 4) เป็นกรุปย่อยที่มีสมาชิกประกอบด้วย เท่านั้น มีสมบัติเป็นกรุปวัฏจักร faithful และมีอันดับ นอกจากนี้ เราพิสูจน์ว่า หารจำนวนสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซต Spawning -ary ได้ลงตัว พร้อมทั้ง สามารถหารจำนวนสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซต Child -ary ได้ลงตัวเช่นกัน