Finite Integration Method for a Time-Dependent Heat Source Identification of Inverse Problem.

Abstract

This study investigates an inverse problem of reconstructing a time wise- dependent source function for the heat equation. The solution of the problem is uniquely solvable, yet unstable. The problem of finding the temperature when the heat source function is given, is called forward problem (or direct problem), whereas when the heat source function is unknown then the problem of two unknowns becomes to be called the inverse problem. In this study the inverse source problem is reformulated to be a new direct problem, meaning that the problem for two unknowns is transformed to be the problem for only one unknown. The proposed algorithm is not only easy to be used but also can give an accurate and stable solution. We propose that two kinds of the finite integration method combined with the backward finite difference method can be used to solve the reformulated heat equation. Furthermore, we also carried out the finite difference method for solving the inverse problem, this is in order to test the efficiency of the proposed method. Since the solution is unstable, the instability is overcome by employing the Tikhonov regularization method which is the method for stabilizing the problem. Numerical examples are presented and discussed to verify the accuracy of the proposed computational method.<br>วิทยานิพนธ์เรื่องนี้เป็นการศึกษาการหาฟังก์ชันแหล่งกำเนิดที่ขึ้นกับเวลาของสมการความร้อนซึ่งเป็นปัญหาผกผัน ผลเฉลยของปัญหาผกผันนี้มีอยู่จริงและมีเพียงหนึ่งเดียวแต่เป็นผลเฉลยที่ไม่เสถียร สำหรับการศึกษาปัญหาของการคำนวณหาพลังงานความร้อน สำหรับปัญหาที่ต้องการคำนวณหา อุณภูมิของระบบโดยทราบค่าของฟังก์ชันของแหล่งกำเนิดความร้อน (ปัญหามีตัวไม่ทราบค่า 1 ตัว) เราจะเรียกปัญหานี้ว่า ปัญหาตรง หรือ ปัญหาไปข้างหน้า แต่หากเราไม่ทราบฟังก์ชันของแหล่งกำเนิดความร้อนและยังต้องการคำนวณหาอุณภูมิและฟังก์ชันแหล่งความร้อนนี้ (ปัญหามีตัวไม่ทราบค่า 2 ตัว) เราจะเรียกปัญหานี้ว่า ปัญหาผกผัน สำหรับการศึกษาปัญหาผกผันนี้จะมีเทคนิคคือการแปลงระบบของปัญหาผกผันให้เป็นระบบของปัญหาตรงซึ่งหมายความว่าแปลงระบบจากปัญหาที่มีตัวไม่ทราบค่า 2 ตัว ให้เป็นระบบที่มีตัวไม่ทราบค่าเพียงแค่ตัวเดียว ขั้นตอนวิธีที่ได้นำเสนอในการศึกษานี้ ไม่เพียงแต่จะง่ายต่อการนำไปใช้ แต่ยังสามารถคำนวณหาผลเฉลยได้อย่างแม่นยำและมีเสถียรอีกด้วย ในการศึกษานี้ เราคาดหวังว่าระเบียบวิธีไฟไนต์อินทิเกรชันจะสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการหา ผลเฉลยของปัญหาผกผันที่เราสนใจนี้ได้ และยิ่งไปกว่านี้เราได้ศึกษาการแก้ปัญหาผกผันนี้ด้วย ระเบียบวิธีพื้นฐานอย่างระเบียบวิธีผลต่างอันตะเพื่อเป็นการทดสอบเปรียบเทียบผลเฉลยที่ได้กับระเบียบวิธีที่เราคาดหวังไว้ และเนื่องจากปัญหานี้เป็นปัญหาผกผัน ซึ่งเป็นปัญหาที่ตั้งขึ้นอย่างเลว ทำให้ผลเฉลยที่ได้จากปัญหานี้ไม่เสถียร เราจึงทำให้ระบบมีเสถียรภาพด้วยการใช้เทคนิครีกูาลาไรเซชันของทิคคอนอฟ และเพื่อตรวจสอบความแม่นยำของระเบียบวิธีที่ศึกษานี้เราจึงได้นำเสนอตัวอย่าง เชิงตัวเลขประกอบอีกด้วย